如图,已知抛物线的顶点A在y轴上,坐标A(0,1)矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于

如图,已知抛物线的顶点A在y轴上,坐标A(0,1)矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),S矩形CDEF=8(1)求此抛物线的解析... 如图,已知抛物线的顶点A在y轴上,坐标A(0,1)矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),S矩形CDEF=8(1)求此抛物线的解析式;(2)过B作直线MN,与抛物线交于点M、N,过M、N分别向x轴作垂线MR、NQ,分别交x轴于R、Q,求证:MR=MB;(3)在线段QR上是否存在一个点P,使得以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似?若存在.请说明理由,并找出P的位置;若不存在,也请说明理由. 展开
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(1)∵矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交y轴于点B(0,2),S矩形CDEF=8,
∴EF×DE=8,
∴DE=4,∴F点坐标为:(2,2),
设抛物线的解析式为y=ax2+c,其过点A(0,1)和F(2,2),
所以,
c=1
4a+c=2

解得:
a=
1
4
c=1

所以,此函数解析式为y=
1
4
x2+1;


(2)如图1,过点B作BT⊥MR于T,
∵M点在抛物线y=
1
4
x2+1上,可设点M(a,
1
4
a2+1),
∴MR=
1
4
a2+1,OB=RT=2,BT=a,
∴MT=MR-TR=
1
4
a2+1-2=
1
4
a2-1,
在Rt△BMT中,MB2=BT2+MT2=(
1
4
a2-1)2+a2=(
1
4
a2+1)2
∴BM=
1
4
a2+1,
∵MR=
1
4
a2+1,
∴MB=MR;

(3)如图2,若以点P、R、M为顶点的三角形和以P、N、Q为顶点的三角形相似,
∵∠PRM=∠PQN=90°,
∴分△PQN∽△MRP和△PQN∽△PRM两种情况,
当△PQN∽△MRP时,∠NPQ=∠RMP,∠QNP=∠RPM,
根据直角三角形两锐角互余可得,∠NPQ+∠RPM=90°,
∴∠NPM=90°,
取MN的中点W,连接WP,则WP=
1
2
MN=
1
2
(NQ+MR),
∴WP为梯形NQRM的中位线,
∴P为QR的中点;
当△PQN∽△PRM时,
PQ
PR
=
QN
MR

∵MB=MR,同理可得出:NB=NQ,
PQ
PR
=
QN
MR
=
BN
MB

又∵
BN
BM
=
QO
OR

∴点P与点O重合,
综上所述,点P为QR的中点时,△PQN∽△MRP;点P为原点时△PQN∽△PRM.
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