Question

（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关

（1）如图1，正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE交CB的延长线于F，猜想AE与AF的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC，过点A作AM⊥AC交CB的延长线于M，观察并猜想CE与MF的数量关系（不必说明理由）；（3）解决问题：①王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图；②王师傅现有两块同样大小的该余料，能否在每块上各切一刀，然后拼成一个大的正方形呢？若能，请你画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．

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Answer 1

（1）∵∠BAF+∠BAE=90°，∠DAE+∠BAE=90°， ∴∠BAF=∠DAE， ∵AB=AD，∠ADE=∠ABF， ∴△ABF≌△ADE（ASA）， ∴AE=AF．（5分） （2）CE=MF．（7分） ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AMF=∠ACB=45°，AM=AC， ∵△ABF≌△ADE， ∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE，即∠AFM=∠AEC， ∴∠MAF=∠EAC， ∴△AMF≌△ACE， ∴CE=MF． （3）①如图所示，把△ABE切下，拼到△ADF的位置， ∵AB=AD，∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE， ∴∠BAE=∠DAF， ∵∠AEB=∠AFD=90°， ∴∠ABE=∠ADF， ∴△ABE≌△ADF， ∵AE=AD=CE，∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是正方形． ②如图4所示，