Question

（2011?广元）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．

（2011?广元）如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，连接CO并延长交⊙O于点D、E，连接AD并延长交BC于点F．（1）试判断∠CBD与∠CEB是否相等，并证明你的结论；（2）求证： = ；（3）若BC= AB，求tan∠CDF的值．

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Answer 1

解：（1）∠CBD与∠CEB相等， 证明：∵BC切⊙O于点B， ∴∠CBD=∠BAD， ∵∠BAD=∠CEB， ∴∠CEB=∠CBD， （2）证明：∵∠C=∠C，∠CEB=∠CBD， ∴∠EBC=∠BDC， ∴△EBC∽△BDC， ∴ ， （3）∵AB、ED分别是⊙O的直径， ∴AD⊥BD，即∠ADB=90°， ∵BC切⊙O于点B， ∴AB⊥BC， ∵BC= ， ∴ ， 设BC=3x，AB=2x， ∴OB=OD=x， ∴OC= ， ∴CD=（ ﹣1）x， ∵AO=DO， ∴∠CDF=∠A=∠DBF， ∴△DCF∽△BCD， ∴ ， ∵tan∠DBF= = ， ∴tan∠CDF= ．

略