Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF

如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，求证：AD垂直平分EF．

Answer 1

证明：设AD、EF的交点为K， ∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF． ∴D在线段EF的垂直平分线上． ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED=∠AFD=90°， 在Rt△ADE和Rt△ADF中， AD=AD，DE=DF， ∴Rt△ADE Rt△ADF（HL）． ∴AE=AF． 又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK， ∴△AEK △AFK， ∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°， ∴AD是线段EF的垂直平分线．