Question

已知二次函数y=x 2 ﹣2mx+4m﹣8（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．（2）以抛物线y=

已知二次函数y=x 2 ﹣2mx+4m﹣8（1）当x≤2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围．（2）以抛物线y=x 2 ﹣2mx+4m﹣8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在拋物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．（3）若抛物线y=x 2 ﹣2mx+4m﹣8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的最小值．

Answer 1

（1）m≥2  （2）见解析  （3）m=2

试题分析：（1）求出二次函数的对称轴x=m，由于抛物线的开口向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，可以求出m的取值范围． （2）在抛物线内作出正三角形，求出正三角形的边长，然后计算三角形的面积，得到△AMN的面积是m无关的定值． （3）当y=0时，求出抛物线与x轴的两个交点的坐标，然后确定整数m的值． 试题解析：（1）二次函数y=x 2 -2mx+4m-8的对称轴是：x=m． ∵当x≤2时，函数值y随x的增大而减小， 而x≤2应在对称轴的左边， ∴m≥2． （2）如图：顶点A的坐标为（m，-m 2 +4m-8） △AMN是抛物线的内接正三角形， MN交对称轴于点B，tan∠AMB=tan60°= ， 则AB= BM= BN， 设BM=BN=a，则AB= a， ∴点M的坐标为（m+a， a-m 2 +4m-8）， ∵点M在抛物线上， ∴ a-m 2 +4m-8=（m+a） 2 -2m（m+a）+4m-8， 整理得：a 2 - a=0 得：a=  （a=0舍去） 所以△AMN是边长为2 的正三角形， S △AMN = ×2 ×3=3 ，与m无关； （3）当y=0时，x 2 -2mx+4m-8=0， 解得： ， ∵抛物线y=x 2 -2mx+4m-8与x轴交点的横坐标均为整数， ∴（m-2） 2 +4应是完全平方数， ∴m的最小值为：m=2． 考点: 二次函数综合题.