Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y=ax 2 +bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

Answer 1

解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax 2 +bx+c中，得 ，解这个方程组，得 。 ∴抛物线的解析式为y=﹣ x 2 +x。 （2）由y=﹣ x 2 +x=﹣ （x﹣1） 2 + ，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。 ∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。 过点A作AN⊥x轴于点N， 在Rt△ABN中， ， 因此OM+AM最小值为 。

二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析。 （2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。 对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有： O M′+A M′=" B" M′+A M′＞AB=OM+AM， 即OM+AM为最小值。