已知函数f(x)=lnx- ax 2 +(a-1)x(a∈R且a≠0),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数y=F(x
已知函数f(x)=lnx-ax2+(a-1)x(a∈R且a≠0),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数y=F(x)的图象为曲线C。设点A(x1,y1),B(x2,...
已知函数f(x)=lnx- ax 2 +(a-1)x(a∈R且a≠0),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)记函数y=F(x)的图象为曲线C。设点A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 )是曲线C上的不同两点。如果在曲线C上存在点M(x 0 ,y 0 ),使得:① ;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”。试问:函数f(x)是否存在“中值相依切线”,请说明理由。
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解:(Ⅰ)显然函数f(x)的定义域是(0,+∞), 由已知得, , (1)当 时, 令 ,解得 ; 令 ,解得 , 所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; (2)当 时, ①当 时,即 时, 令 ,解得 或 ; 令 ,解得 , 所以,函数f(x)在 和 上单调递增,在 上单调递减; ②当 时,即a=-1时, 显然,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; ③当 时,即 时, 令 ,解得 或 ; 令 ,解得 , 所以,函数f(x)在(0,1)和 上单调递增,在 上单调递减; 综上所述,(1)当 时,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减; (2)当 时,函数f(x)在 和(1,+∞)上单调递增,在 上单调递减; (3)当 时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (4)当 时,函数f(x)在(0,1)和 上单调递增, 在 上单调递减; (Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”, 设 , 是曲线y=f(x)上的不同两点,且 , 则 ,
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