Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点(-1， )，过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为 ，且经过点(-1， )，过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M， （1）求椭圆C的方程；（2）求直线l的方程以及点M的坐标； （3）是否存过点P的直线l 1 与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足 ？若存在，求出直线l 1 的方程；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为 ， 由题意得 ，解得 ， 故椭圆C的方程为 ； （Ⅱ）因为过点P（2，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在， 故可设直线l的方程为 ， 由 得 ，① 因为直线l与椭圆相切，所以 ， 整理得 ，解得 ， 所以直线l的方程为 ， 将 代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为 ； （Ⅲ）若存在直线l 1 满足条件的方程为 ， 代入椭圆C的方程得 ， 因为直线l 1 与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为 ， 所以 ， 所以 ， 又 ， 因为 ， 即 ， 所以 ， 即 ， 所以 ，解得 ， 因为A，B为不同的两点，所以 ， 于是存在直线l 1 满足条件，其方程为 。