长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．（Ⅰ） 求证：BD1∥平面A1DE；（Ⅱ） 求证：A1D⊥
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面A1DE；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABD1；（Ⅲ）求点B到面A1D...
长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．（Ⅰ） 求证：BD1∥平面A1DE；（Ⅱ） 求证：A1D⊥平面ABD1；（Ⅲ） 求点B到面A1DE的距离．
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1）证明：设AD1交A1D于F，作FG//EB交BD1与G；参看平面视图-图1。因FG=AB/2=EB；所以四边形BEFG是平行四边形。BD1//EF；EF∈平面A1DE，BD1不∈平面A1DE；所以，BD1//平面A1DE。
2）证明：参见图2.因为AA1=AD；所以四边形A1ADD1和四边形B1BCC1都是正方形。因此正方形的对角线相互垂直平分。所以，A1D⊥AD1；因为AB⊥平面A1AD，所以AB⊥A1D；所以A1D⊥平面ABD1。
3）解：设h为B到平面A1DE的距离；四边形BEFG的面积=2△AEF的面积：即：AF*AE=EF*h，EF=√(AF^2+AE^2); h=AE*AF/√(AF^2+AE^2)=1*2/√(2^2+1)=2/√5=2√5/5。
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（Ⅰ）证明：设A1D与AD1交于点O，连接EO．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O、E分别为AD1、AB的中点，
∴OE∥BD1．
∵OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE
∴BD1∥平面A1DE．
（Ⅱ） 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵AD=AA1，∴A1D⊥AD1．
又AB⊥侧面ADD1A1，∴AB⊥A1D，
而AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面ABD1．
（Ⅲ） 设点B到面A1DE的距离为h，VA1?BDE＝
S△BDE?AA1=
×
×1×4×4=
.S△A1DE＝
A1D?OE=
×4
×3=6
．
由VA1?BDE＝VB?A1DE得
×6
×h＝
，
得h＝
，即点B到面A1DE的距离为
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O、E分别为AD1、AB的中点，
∴OE∥BD1．
∵OE?平面A1DE，BD1?平面A1DE
∴BD1∥平面A1DE．
（Ⅱ） 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∵AD=AA1，∴A1D⊥AD1．
又AB⊥侧面ADD1A1，∴AB⊥A1D，
而AD1∩AB=A，∴A1D⊥平面ABD1．
（Ⅲ） 设点B到面A1DE的距离为h，VA1?BDE＝
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