Question

一题数学证明。。谢谢大神了

已知如图四边形ABCD为正方形,E为BC上一点,F为CD上一点,角EAF=45°,AE角BD与G,AF交BD于H,设三角形AGH的面积为S1，设四边形GEFH的面积为S2，求证S1=S2。

Answer 1

连接AC交BD于O，则AC⊥BD；∠CAF+∠EAC=45°；∠BAE+∠EAC=45°即∠CAF=∠BAE则△BAE∽△AOH;同理△DAF∽△AOG根据对应边成比例直角边AO/AB=√2/2即S△AOH=(√2/2)^2 S△ABE=1/2S△ABE；S△AOG=1/2S△ADF；则S△AOH+S△AOG=S1=1/2(S△ABE+S△ADF)
将AE以A为圆心逆时针旋转90°至E'连接E'D；AE=AE'，∠EAE'=90-45=45°，AD=AB，∠E'AD=∠BAE则△AE'D≌△ABE即∠ADE'=90°则E'DF在一条线上（或者说E‘在FD延长线上）；又∠E'AF=∠EAF=45°；E'A=AE,AF共边即△AEF≌△E'AF即S1+S2=S△AEF=S△ABE+S△ADF又上面已证S1=1/2(S△ABE+S△ADF)故可得S1=1/2(S1+S2)即得出S1=S2得证！