Question

如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E

如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

Answer 1

（1）见解析 （2）见解析

（1）先求证AB=AC，进而求证△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ACF =60°，AC=AB，从而求证△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。 （2）由△ABE≌△ACF可得S △ ABE =S △ ACF ，故根据S 四边形AEC F=S △ AEC +S △ ACF =S △ AEC +S △ AB E=S △ ABC 即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短．△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小，根据S △ CEF =S 四边形AECF －S △ AEF ，则△CEF的面积就会最大。 解：（1）证明：如图，连接AC ∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°， ∠BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°， ∴∠BAE=∠FAC。 ∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°。 ∴△ABC和△ACD为等边三角形。 ∴∠ACF=60°，AC=AB。∴∠ABE=∠AFC。 ∴在△ABE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC， ∴△ABE≌△ACF（ASA）。∴BE=CF。 （2）四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化。理由如下： 由（1）得△ABE≌△ACF，则S △ ABE =S △ ACF 。 ∴S 四边形AECF =S △ AEC +S △ ACF =S △ AEC +S △ ABE =S △ ABC ，是定值。 作AH⊥BC于H点，则BH=2， 。 由“垂线段最短”可知：当正三角形AEF的边AE与BC垂直时，边AE最短． 故△AEF的面积会随着AE的变化而变化，且当AE最短时，正三角形AEF的面积会最小， 又S △ CEF =S 四边形AECF ﹣S △ AEF ，则此时△CEF的面积就会最大． ∴S △ CEF =S 四边形AECF ﹣S △ AEF 。 ∴△CEF的面积的最大值是 。