Question

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2（n∈N * ）．（1）设b n =a n+1 -2a n ，证明

设数列{a n }的前n项和为S n ，已知a 1 =1，S n+1 =4a n +2（n∈N * ）．（1）设b n =a n+1 -2a n ，证明数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的通项公式．

Answer 1

（1）由a 1 =1，及S n+1 =4a n +2， 得a 1 +a 2 =4a 1 +2，a 2 =3a 1 +2=5，所以b 1 =a 2 -2a 1 =3． 由S n+1 =4a n +2，① 则当n≥2时，有S n =4a n-1 +2，② ①-②得a n+1 =4a n -4a n-1 ，所以a n+1 -2a n =2（a n -2a n-1 ）， 又b n =a n+1 -2a n ，所以b n =2b n-1 ，所以{b n }是以b 1 =3为首项、以2为公比的等比数列．（6分） （2）由（I）可得b n =a n+1 -2a n =3?2 n-1 ，等式两边同时除以2 n+1 ，得 a n+1 2 n+1 - a n 2 n = 3 4 ． 所以数列 { a n 2 n } 是首项为 1 2 ，公差为 3 4 的等差数列． 所以 a n 2 n = 1 2 +(n-1) 3 4 = 3 4 n- 1 4 ，即a n =（3n-1）?2 n-2 （n∈N * ）．（13分）