Question

如图，已知二次函数y=ax 2 +2x+3的图象与x轴交于A点和B点（点B 在x轴的正半轴上），与y轴交于C点，其顶点

如图，已知二次函数y=ax 2 +2x+3的图象与x轴交于A点和B点（点B 在x轴的正半轴上），与y轴交于C点，其顶点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，∠OBC=45°。（1）求a，k的值； （2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B，C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请你说明理由。

Answer 1

解：（1）由直线y=kx+3与y轴交于点C，得点 C（0，3）， ∴∠OBC=45°， ∴OB=CC=3.7， 点B（3，0）， 点B（3，0）在二次函数y=ax 2 +2x+3的图象上， ∴9a+6+3=0， ∴a=-1， ∴y=-x+2+3=-（x-1） 2 +4， ∴顶点D（1，4）， k= =1； （2）在二次函数y=-x 2 +2x+3的图象上存在点P，使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形。 ①由（1）可知，直线y=x+3与z轴的交点为E（-3，0）， ∴OE=C =3 ∴∠CEO=45°，∵∠OBC=45°， ∴∠ECB=90°， ∴∠DCB=90 ∴△DCB是以BC为一条直角边的直角三角形，且点D（l，4）在二次函数的图象上，则点D即为所求的P点， ②设∠CBP=90°，点P在二次函数y=-x 2 +2x+3的图象上，则△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形， ∵∠CBO=45°， ∴∠OBP=45° 设直线BP与y轴交于点F，则F（0，-3）， ∴直线BP的表达式为y=x-3， 解方程 得 或 由题意得，点P（-2，-5）为所求， 综合①②，得二次函数y=-x 2 +2x+3的图象上存在点P（1，4）或P（-2，-5），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形。