Question

已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证

已知：如图，△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．求证：（1）AD＝BD；（2）DF是⊙O的切线．

Answer 1

（1）证法一：连结CD，       　 ∵BC为⊙O的直径 ∴CD⊥AB                             　　　 ∵AC＝BC 　　　 ∴AD＝BD．              证法二：连结CD，     　∵BC为⊙O的直径 ∴∠ADC＝∠BDC＝90° ∵AC＝BC，CD＝CD ∴△ACD≌△BCD       ∴AD＝BD                       （2）证法一：连结OD，      　 　∵AD＝BD，OB＝OC 　　∴OD∥AC               　　∵DE⊥AC  ∴DF⊥OD                      　　∴DF是⊙O的切线．     证法二：连结OD，   　　　　∵OB=OD 　　　　∴∠BDO＝∠B             　　　　∵∠B＝∠A 　　　　∴∠BDO=∠A        　　　　∵∠A+∠ADE＝90° 　　　　∴∠BDO＋∠ADE＝90° 　　　　∴∠ODF=90°           　　　　∴DF是⊙O的切线．

（1）由于AC=AB，如果连接CD，那么只要证明出CD⊥AB，根据等腰三角形三线合一的特点，我们就可以得出AD=BD，由于BC是圆的直径，那么CD⊥AB，由此可证得． （2）连接OD，再证明OD⊥DE即可．