Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=12BD，AE延长线与BC的

如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=12BD，AE延长线与BC的延长线相交于F（1）试说明AF=BD；（2）请问BD是∠ABC的平分线吗？如果是，请说明理由；（3）请在图中作出△AFC关于直线AC的轴对称图形，记F的对称点为G，若BG=3cm试求线段AD的长．

Answer 1

（1）∵AE⊥BE，
∴∠AED=90°，
∵∠ADE=∠BDC，∠ACB=90°，
∴∠EAD=∠DBC，
∵在△AFC和△BDC中，

∠ACF＝∠ACB＝90° AC＝BC ∠CBD＝∠CAF

，
∴Rt△AFC≌Rt△BDC（ASA），
∴AF=BD；

（2）BD是∠ABC的平分线．
理由如下：
∵AE=

1

2

BD，
∴AF=2AE，
∵AF=AE+EF=2AE，
∴EF=AE，
∵在△AEB和△FEB中，

AE＝EF ∠AEB＝∠FEB＝90° EB＝EB

，
∴Rt△ABE≌Rt△FBE（SAS），
∴∠ABE=∠FBE，
∴BD是∠ABC的角平分线；

（3）画图：
∵△AFC与△AGC关于直线AC对称，
∴△AFC≌△AGC，
∵△AFC≌△BDC，
∴△AGC≌△BDC，
∴DC=GC，
∵AC=BC，
∴AC-CD=CB-CG，
即AD=BG=3cm．