如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=12BD,AE延长线与BC的
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=12BD,AE延长线与BC的延长线相交于F(1)试说明AF=BD;...
如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AC上一点,AE⊥BD交BD的延长线于E,且AE=12BD,AE延长线与BC的延长线相交于F(1)试说明AF=BD;(2)请问BD是∠ABC的平分线吗?如果是,请说明理由;(3)请在图中作出△AFC关于直线AC的轴对称图形,记F的对称点为G,若BG=3cm试求线段AD的长.
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(1)∵AE⊥BE,
∴∠AED=90°,
∵∠ADE=∠BDC,∠ACB=90°,
∴∠EAD=∠DBC,
∵在△AFC和△BDC中,
,
∴Rt△AFC≌Rt△BDC(ASA),
∴AF=BD;
(2)BD是∠ABC的平分线.
理由如下:
∵AE=
BD,
∴AF=2AE,
∵AF=AE+EF=2AE,
∴EF=AE,
∵在△AEB和△FEB中,
,
∴Rt△ABE≌Rt△FBE(SAS),
∴∠ABE=∠FBE,
∴BD是∠ABC的角平分线;
(3)画图:
∵△AFC与△AGC关于直线AC对称,
∴△AFC≌△AGC,
∵△AFC≌△BDC,
∴△AGC≌△BDC,
∴DC=GC,
∵AC=BC,
∴AC-CD=CB-CG,
即AD=BG=3cm.
∴∠AED=90°,
∵∠ADE=∠BDC,∠ACB=90°,
∴∠EAD=∠DBC,
∵在△AFC和△BDC中,
|
∴Rt△AFC≌Rt△BDC(ASA),
∴AF=BD;
(2)BD是∠ABC的平分线.
理由如下:
∵AE=
1 |
2 |
∴AF=2AE,
∵AF=AE+EF=2AE,
∴EF=AE,
∵在△AEB和△FEB中,
|
∴Rt△ABE≌Rt△FBE(SAS),
∴∠ABE=∠FBE,
∴BD是∠ABC的角平分线;
(3)画图:
∵△AFC与△AGC关于直线AC对称,
∴△AFC≌△AGC,
∵△AFC≌△BDC,
∴△AGC≌△BDC,
∴DC=GC,
∵AC=BC,
∴AC-CD=CB-CG,
即AD=BG=3cm.
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