Question

已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与

已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点．（1）如图1，若∠DAB=60°，则∠AFG=______；如图2，若∠DAB=90°，则∠AFG=______；（2）如图3，若∠DAB=α，试探究∠AFG与α的数量关系，并给予证明；（3）如果∠ACB为锐角，AB≠AC，∠BAC≠90°，点M在线段BC上运动，连接AM，以AM为一边以点A为直角顶点，且在AM的右侧作等腰直角△AMN，连接NC；试探究：若NC⊥BC（点C、M重合除外），则∠ACB等于多少度？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）

Answer 1

（1）解：60°；45°…（2分）

（2）∠AFG＝90°?

α

2

…（3分）
证明：连接AG．
∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAC=∠BAE．
又AD=AB，AC=AE，
∴△DAC≌△BAE…（4分）
∴DC=BE，∠ADC=∠ABE．
又G、F为中点，
∴DG=BF，
∴△DAG≌△BAF…（5分）
∴∠DAG=∠BAF．
∴∠GAF=∠DAB=α，
∴∠AFG＝90°?

α

2

…（6分）

（3）解：如图．
延长CN于H，使NH=MC，连接AH．
∵NC⊥BC，∠MAN=90°，
∴∠AMC+∠ANC=180°…（7分）
∵∠ANH+∠ANC=180°，
∴∠AMC=∠ANH…（8分）
在△AMC与△ANH中，

MC＝NH ∠AMC＝∠ANH AM＝AN

．
∴△AMC≌△ANH（SAS），
∴AC=AH，∠MAC=∠NAH…（9分）
∴∠HAC=∠MAN=90°．
∴∠ACH=45°，
∴∠ACB=45°…（10分）

Answer 2

∠DAB=∠CAE，
∴∠DAC=∠BAE,
AD=AB，AC=AE,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
连AG,G、F分别是DC与BE的中点,
∴∠GAF=∠BAD=α，AG=AF,
∴∠AFG=(180°-α)/2.
(3)易知A,M,C,N四点共圆，AM=AN,
∴∠ACB=∠ACM=∠ACN=45°。
我不会截图，您自己画图，可以吗？