Question

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CD?CB；

如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CD?CB；（2）若AB=BC=2cm，求CE和CD的长．

Answer 1

证明：（1）连接BE
∵BC为⊙O的切线
∴∠ABC=90°
∵AB为⊙O的直径
∴∠AEB=90°
∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°
∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO
∵∠AEO=∠CED
∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C
∴△CED∽△CBE
∴

CE

CB

＝

CD

CE

∴CE²=CD?CB（5分）．

（2）∵OB=1cm，BC=2cm
∴OC=

5

cm
∴CE=OC-OE=（

5

-1）cm
由（1）得：CE²=CD?CB
∴（

5

-1）²=2CD
∴CD=（3-

5

）cm（10分）．