已知：∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E．（1）如图①，当∠ACB=90°时，求出线段DE、CE之间的
已知：∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E．（1）如图①，当∠ACB=90°时，求出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图②，当∠ACB=1...
已知：∠DBC=∠ACB，BC=2AC，BD=BC，CD、AB交于点E．（1）如图①，当∠ACB=90°时，求出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图②，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；（3）如图③，在（2）的条件下，F是BC边的中点，连接DF交AB于点G，若CE=2，求DF的长．
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解：（1）∵∠DBC=∠ACB=90°，∴DB∥AC，
∴△BDE∽△ACE，
∴
| DB |
| AC |
| DE |
| CE |
∵BC=BD=2AC，
∴
| DE |
| CE |
（2）过B作BM⊥DC，交DC于点M，
∵∠ACB=∠DBC=120°，BC=BD，
∴∠D=∠DCB=30°，
∴DM=CM=
| 1 |
| 2 |
∴∠BME=∠ACE=90°，
在Rt△BDM中，∠D=30°，
∴BM=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵BC=2AC，即AC=
| 1 |
| 2 |
∴BM=AC，
在△BME和△ACE中，
|
∴△BME≌△ACE（AAS），
∴ME=CE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
∵DC=DE+EC=4EC，
∴DE=3EC；
（3）延长CB，过D作DN⊥CN，过M作BM⊥DC，交DC于点M，
由（2）得：DE=3EC=6，即DC=DE+EC=6+2=8，即CM=4，
在Rt△DCN中，∠DCN=30°，
∴DN=
| 1 |
| 2 |
∵∠DBN=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDN=30°，
在Rt△BDN中，NB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵F为BC中点，
∴BF=
| 1 |
| 2 |
∴BN=BF=FC，
∴NF=NB+BF=CF+FB=BC，
在Rt△BCM中，设BM=x，则BC=2x，
根据勾股定理得：x2+42=（2x）2，
解得：x=
4
| ||
| 3 |
∴NF=BC=
8
|
