Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=A

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．（Ⅰ）证明：BC⊥平面AMN；（Ⅱ）求三棱锥N-AMC的体积．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，得AB=BC=CA
∵M是BC的中点，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN内的相交直线，
∴BC⊥面AMN．
（Ⅱ）解：∵∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，
点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2，
∴NA⊥平面AMC，NA=1，
S_△AMC=

1

2

S△ABC=

1

2

×(

1

2

×2×2×sin60°)=

3

2

，
∴三棱锥N-AMC的体积：
V=

1

3

×S△AMC×NA=

1

3

×

3

2

×1=

3

6

．