Question

已知函数f（x）=x2+x+q，集合A={x|f（x）=0，x∈R}，B={x|f（f（x））=0，x∈R}，若B为单元素集，试求q的

已知函数f（x）=x2+x+q，集合A={x|f（x）=0，x∈R}，B={x|f（f（x））=0，x∈R}，若B为单元素集，试求q的值．

Answer 1

解答：∵集合A={x|f（x）=0，}，B={x|f（f（x））=0}
∴A?B
∴B={x|f（f（x）=0}={x|f²（x）+f（x）+q=0}={x|[（f（x）+

1

2

]²+q-

1

4

}
∵B为单元集，∴f（x）=-

1

2

，
∴B={q-

1

4

}，
A={x|f（x）=0}={x|x²+x+q=0，x∈R}，
当A=?时，B=?不符题意，故A≠?，
当A={x|x=-

1

2

}时，△=1-4q=0，解得：q=

1

4

，
∴f（f（x））=（x²+x+

1

4

）²+（x²+x+

1

4

）+

1

4

=0，
∵△=1-4×

1

4

=0
∴x²+x+=

1

4

=-

1

2

，
x²+x+

3

4

=0，方程无解，不符B为单元集，故A≠{x|x=-

1

2

}．
∴方程x²+x+q=0有2个不相等的实数解：

x1＝ ?1? 1?4q 2 x2＝ ?1+ 1?4q 2

，
∴A={

?1? 1?4q

2

，

?1+ 1?4q

2

}
∵A?B
∴当

?1? 1?4q

2

∈B时有

?1? 1?4q

2

＝q?

1

4

，解得：q1＝

?3+2 3

4

或q2＝

?3?2 3

4

（舍去）．
同理当

?1+ 1?4q

2

∈B时有：：q1＝

?3+2 3

4

或q2＝

?3?2 3

4

（舍去）．
综上，q1＝

?3+2 3

4

．