Question

如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．

如图，在△ABC中，∠C= 90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F．小题1:若AC=6，AB=10，求⊙O的半径；小题2:连接OE、ED、DF、EF．若四边形BDEF是平行四边形，试判断四边形OFDE的形状，并说明理由．

Answer 1

小题1:连接OD. 设⊙O的半径为r. ∵BC切⊙O于点D，∴OD⊥BC. ∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴△OBD∽△ABC. ∴ = ，即 = . 解得r = ，     ∴⊙O的半径为.     小题1:四边形OFDE是菱形.  ∵四边形BDEF是平行四边形，∴∠DEF="∠B." ∵∠DEF=∠DOB，∴∠B=∠DOB.∵∠ODB=90°，∴∠DOB+∠B=90°，∴∠DOB="60°." ∵DE∥AB，∴∠ODE=60°.∵OD=OE，∴△ODE是等边三角形.   ∴OD=DE.∵OD=OF，∴DE=OF. ∴四边形OFDE是平行四边形. ∵OE=OF，∴平行四边形OFDE是菱形.

小题1:连接OD，设⊙O的半径为r，可证出△BOD∽△BAC，则 ，从而求得r； 小题1:由四边形BDEF是平行四边形，得∠DEF=∠B，再由圆周角定理可得，∠B= ∠DOB，则△ODE是等边三角形，先得出四边形OFDE是平行四边形．再根据OE=OF，则平行四边形OFDE是菱形．