Question

已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F

已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=CO，AD∥BC。∴∠OAE=∠OCF。 在△AOE和△COF中，∵ ， ∴△AOE≌△COF（ASA）。 （2）∵∠BAD=60°，∴∠DAO= ∠BAD= ×60°=30°。 ∵∠EOD=30°，∴∠AOE=90°﹣30°=60°。 ∴∠AEF=180°﹣∠BOD﹣∠AOE=180°﹣30°﹣60°=90°。 ∵菱形的边长为2，∠DAO=30°，∴OD= AD= ×2=1。 ∴ 。 ∴ 。 ∵菱形的边长为2，∠BAD=60°，∴高 。 在Rt△CEF中， 。

试题分析：（1）根据菱形的对角线互相平分可得AO=CO，对边平行可得AD∥BC，再利用两直线平行，内错角相等可得∠OAE=∠OCF，然后利用“角边角”证明△AOE和△COF全等。 （2）根据菱形的对角线平分一组对角求出∠DAO=30°，然后求出∠AEF=90°，然后求出AO的长，再求出EF的长，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列式计算即可得解。