Question

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在的平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求四面体EBDF的体积；（Ⅲ）求二面角F-BD-A的平面角的余弦值．

Answer 1

（I）证明：如图所示，设BD∩AC=O，取DE的中点M，连接AM、OM．
则EM

1

2

DE＝AF，又AF∥DE，∴四边形AFEM是平行四边形，∴AM∥FE．
又点O是正方形的对角线AC与BD的交点，∴DO=OB．
在△BDE中，OM∥BE，
又AM∩MO=M，∴平面ACM∥平面BFE，∴AC∥平面BEF．
（II）∵BA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴BA⊥平面ADEF，即BA是三棱锥B-DEF的高．
又S△DEF＝

1

2

AD?DE=

1

2

×2×2＝2．
∴V_{三棱锥B-DEF}=

1

3

×BA×S△DEF=

1

3

×2×2＝

4

3

．
（III）连接FO，∵FA⊥AD，平面ABCD⊥平面ADEF，∴FA⊥平面ABCD．
又BD⊥AC，∴BD⊥FO．
∴∠AOF是二面角F-BD-A的平面角，在Rt△AOF中，FO＝

AF2+AO2

=

3

，
∴cos∠AOF＝

AO

OF

＝

2

3

＝

6

3

，即为二面角F-BD-A的平面角的余弦值．