Question

已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O．求证：AC=AE+CF

已知：如图，在△ABC中，∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线，交于点O．求证：AC=AE+CF．

Answer 1

证明：如图，在AC上取一点H，使AH=AE，
∵AF是△ABC的角平分线，
∴∠EAO=∠HAO，
在△AEO和△AHO中，

AH＝AE ∠EAO＝∠HAO AO＝AO

，
∴△AEO≌△AHO（SAS），
∴∠AE0=∠AHO，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠3=∠AHO，
∠2+∠B=∠AEO，
∴∠3=∠B=60°，
又∵∠B=60°，CE、AF是△ABC的角平分线，
∴∠4=∠1+∠CAF=

1

2

（180°-∠B）=

1

2

（180°-60°）=60°，
∴∠3=∠4，
在△CFO和△CHO中，

∠1＝∠2 CO＝CO ∠3＝∠4

，
∴△CFO≌△CHO（ASA），
∴CF=CH，
由图可知，AC=AH+CH，
∴AC=AE+CF．