Question

如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2，BC＝2，PB＝6（1）证明：面PAC⊥平面PBC（2）求二面角P-BC-A的大小（3

如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB=2，BC＝2，PB＝6（1）证明：面PAC⊥平面PBC（2）求二面角P-BC-A的大小（3）求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

（1）证明：依题意，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AC⊥BC且PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，∵BC?平面PBC
∴面PAC⊥平面PBC
（2）∵BC⊥平面PAC∴BC⊥AC，BC⊥PC∴∠PCA就是二面角P-BC-A的平面角
在Rt△PAC中，AC=

4?2

=

2

 PC=

6?2

=2
∴cos∠PCA=

2

2

∵∠PCA∈[0，π]∴∠PCA=

π

4

∴二面角P-BC-A的大小为

π

4

（3）依题意，PA=

2

取PC的中点E，连接AE，
∵PA=AC，∴AE⊥PC
∵面PAC⊥平面PBC
∴AE⊥平面PBC
∴线段AE的长就是点A到平面PBC的距离
在Rt△PAC中，AE=

|PC|

2

=1
∴A到平面PBC的距离为1