已知函数f(x)＝4x?a1+x2在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．（1）当a=3时，求m，n的值；（2）当
已知函数f(x)＝4x?a1+x2在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．（1）当a=3时，求m，n的值；（2）当f（n）-f（m）最小时，①求a的值；②若...
已知函数f(x)＝4x?a1+x2在区间[m，n]上为增函数，且f（m）f（n）=-4．（1）当a=3时，求m，n的值；（2）当f（n）-f（m）最小时，①求a的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0使得f′(x0)＝f(x2)?f(x1)x2?x1，证明：x1＜x0＜x2．
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f′(x)＝
＝
．（2分）
（1）当a=3时，由f′(x)＝
＝
＝0，
得x＝?
或x=2，
所以f（x）在[?
，2]上为增函数，在(?∞，?
)，（2，+∞）上为减函数，（4分）
由题意知?
≤m＜n≤2，且f(?
)≤f(m)＜0＜f(n)≤f(2)．
因为f(?
)＝?4，f(2)＝1，所以?4＝f(m)f(n)≥f(?
)f(2)＝?4，
可知m＝?
，n＝2．（7分）
（2）①因为f(n)?f(m)＝f(n)+[?f(m)]≥2
＝4，
当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．（8分）
由f(n)＝
＝2，有-a=2（n-1）2≥0，得a≤0；（9分）
由f(m)＝
＝?2，有a=2（m+1）2≥0，得a≥0；（10分）
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．（11分）
②此时，f′(x0)＝
，
| 4(1+x2)?2x(4x?a) |
| (1+x2)2 |
| ?2(2x2?ax?2) |
| (1+x2)2 |
（1）当a=3时，由f′(x)＝
| ?2(2x2?3x?2) |
| (1+x2)2 |
| ?2(2x+1)(x?2) |
| (1+x2)2 |
得x＝?
| 1 |
| 2 |
所以f（x）在[?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由题意知?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
因为f(?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
可知m＝?
| 1 |
| 2 |
（2）①因为f(n)?f(m)＝f(n)+[?f(m)]≥2
| f(n)[?f(m)] |
当且仅当f（n）=-f（m）=2时等号成立．（8分）
由f(n)＝
| 4n?a |
| 1+n2 |
由f(m)＝
| 4m?a |
| 1+m2 |
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．（11分）
②此时，f′(x0)＝
4(1?
| ||
(1+
|
f(x2)?f(x<
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