Question

（2013?如皋市模拟）如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线

（2013?如皋市模拟）如图，矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm．现有两个动点P，Q分别从A，B同时出发，点P在线段AB上沿AB方向作匀速运动，点Q在线段BC上沿BC方向作匀速运动，已知点P的运动速度为1cm/s，运动时间为t s．（1）设点Q的运动速度为12cm/s．①当△DPQ的面积最小时，求t的值；②当△DAP∽△QBP相似时，求t的值．（2）设点Q的运动速度为a cm/s，问是否存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）①S_△DPQ=S_矩形ABCD-S_△DAP-S_△PBQ-S_△QCD
=60-

1

2

×6×t-

1

2

×（10-t）×

1

2

t-

1

2

×10×（6-

1

2

t）
=

1

4

t²-3t+30
=

1

4

（t-6）²+21．
∵0≤t≤10，∴当t=6 s时，S_△DPQ的最小值为21 cm²．           
②当△DAP∽△QBP时，有

DA

PA

=

QB

BP

，
即

6

t

=

1 2 t

10?t

，解得t₁=-6+2

39

，t₂=-6-2

39

（舍去）．
∴t=-6+2

39

时，△DAP∽△QBP，
即t的值是-6+2

39

．

（2）假设存在a的值，使得△DAP与△PBQ和△QCD这两个三角形都相似，
则AP=t，BQ=at．以下分4种情况进行讨论．
①当∠1=∠3=∠4时，有

AD

AP

=

BP

BQ

=

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