Question

已知函数f（x）=x2+2（a-2）x+4，当x∈[-3，1]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围

已知函数f（x）=x2+2（a-2）x+4，当x∈[-3，1]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

函数f（x）=x²+2（a-2）x+4=[x+（a-2）]²-（a-2）²+4
函数为开口方向向上，对称轴方程为：x=2-a
①当-3≤2-a≤1时，即1≤a≤5 f(x)min＝f(2?a)＝?(a?2)2+4=-a²+4a
所以只需-a²+4a＞0恒成立即可，解得：0＜a＜4
实数a的取值范围：1≤a＜4
②当1＜2-a时，即a＜1
所以只需2a+1＞0恒成立即可，解得：a＞-

1

2

实数a的取值范围：-

1

2

＜a＜1
③当2-a＜-3时，即a＞5 f（x）_min=f（-3）=25-6a
所以只需25-6a＞0恒成立即可，解得：a＜

25

6

实数a的取值范围：Φ
综上所述：实数a的取值范围：?

1

2

＜a＜4
故答案为：?

1

2

＜a＜4