设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=∫x0(x2?t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与xk为
设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=∫x0(x2?t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与xk为同阶无穷小，求常数k．...
设f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，F（x）=∫x0(x2?t2)f（t）dt．当x→0时F′（x）与xk为同阶无穷小，求常数k．
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因为F（x）=
(x2?t2)f（t）dt=x2
f(t)dt-
t2f(t)dt，
利用积分上限函数的求导公式可得，
F′（x）=2x
f(t)dt+x2f(x)?x2f(x)=2x
f(t)dt．
因为f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，
所以f（x）为x的同阶无穷小，
且
=
=f′（0）．
从而，
f(t)dt为x2的同阶无穷小，
f（x）=2x
f(t)dt为x3的同阶无穷小，
即：k=3．
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
利用积分上限函数的求导公式可得，
F′（x）=2x
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
因为f（x）有一阶连续导数，f（0）=0，f′（0）≠0，
所以f（x）为x的同阶无穷小，
且
| lim |
| x→0 |
| f(x) |
| x |
| lim |
| x→0 |
| f(x)?f(0) |
| x?0 |
从而，
| ∫ | x 0 |
f（x）=2x
| ∫ | x 0 |
即：k=3．
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