Question

如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点．（1）求证

如图正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点．（1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线．

Answer 1

解答：证明：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁

∥ ＝

DD₁，
∴BD

∥ ＝

B₁D₁，
又∵E、F分别为D₁C₁和B₁C₁的中点，
EF

∥ ＝

1

2

B₁D₁，
∴EF

∥ ＝

1

2

BD，
∴D、B、F、E四点共面．
（2）∵Q∈平面AC₁，Q∈平面BE，P∈平面AC₁，P∈平面BE，
∴平面AC₁∩平面BE=PQ，
又∵A₁C与面DBFE交于点R，
∴R∈平面AC₁，R∈平面BE，
∴R∈PQ，
即P、Q、R三点共线．