Question

如图所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，圆轨道的半径为R，C

如图所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，圆轨道的半径为R，C、D为圆轨道的最低点和最高点．可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动．（1）若H=2R，求小滑块运动到最低点C时对轨道压力的大小；（2）若小滑块能沿圆轨道运动到最高点D，H应满足什么条件；（3）若H=2R，求小滑块在何处脱离圆轨道？脱离圆轨道后小滑块能到达的最大高度．

Answer 1

（1）规定在最低点时滑块的重力势能为零，从滑下到最低点过程，由机械能守恒得：
mgH+0=

1

2

mv²+0
在最低点时，滑块受到的支持力为F，则有；
F-mg=

mv2

R

H=2R
联立解得：F=5mg；
（2）小球恰好做圆周运动，在最高点，
由牛顿第二定律得：mg=

mv2

R

小球从A点到最高点过程中，机械能守恒，
由机械能守恒定律得：mg（H-2R）=

1

2

mv²，
解得：H=2.5R；
故H应满足的条件是：H≥2.5R．
（3）设小球到达P点脱离轨道，过P点的半径与竖直方向夹角为θ，如图所示，
在P点，由牛顿第二定律得：mgcosθ=m

mv 2 P

R

故有：vP＝

gRcosθ

从C到P点过程机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgR（1-cosθ）=

1

2

mv_P²，
联立解得：cosθ=

2

3

则：θ=arccos

2

3

；
小球离开轨道后最斜上抛运动，离开轨道时水平分速度：
v₁=v_Pcosθ=

gRcosθ

cosθ，
到小球到达最高点时，竖直分速度为零，
由机械能守恒定律得：mgh=mgh′+

1

2

mv₁²，
解得：h′=

50

27

R．
答：（1）若H=2R，求小滑块运动到最低点C时对轨道压力的大小为5mg；
（2）若小滑块能沿圆轨道运动到最高点D，H应大于等于2.5R；
（3）若H=2R，求小滑块在与竖直方向夹角为则：θ=arccos

2

3

时脱离圆轨道，脱离圆轨道后小滑块能到达的最大高度为

50

27

R．