Question

11题求解

Answer 1

函数φ(x)严格单增，则其导数φ'(x)>0恒成立
φ(x)=∫<0,x>tf(t)dt/∫<0,x>f(t)dt
φ'(x)={∫<0,x>tf(t)dt/∫<0,x>f(t)dt}'
={[∫<0,x>tf(t)dt]'*∫<0,x>f(t)dt-(∫<0,x>tf(t)dt)*[∫<0,x>f(t)dt]'}/[∫<0,x>f(t)dt]²
={xf(x)*∫<0,x>f(t)dt-(∫<0,x>tf(t)dt)*f(x)}/[∫<0,x>f(t)dt]²
=f(x){x∫<0,x>f(t)dt-(∫<0,x>tf(t)dt)}/[∫<0,x>f(t)dt]²
=f(x){∫<0,x>xf(t)dt-(∫<0,x>tf(t)dt)}/[∫<0,x>f(t)dt]²
=f(x){∫<0,x>(x-t)f(t)dt}/[∫<0,x>f(t)dt]²
∵0≤t≤x，∴x-t>0
又f(x)为正值函数，∴f(t)>0
∴∫<0,x>(x-t)f(t)dt>0
由此即有φ'(x)>0恒成立，∴φ(x)在x≥0时严格单调递增

追问

写的太复杂看不懂，，说说思路就行

追答

思路是：导数为正，则函数单增
但这道题的考点应该是在积分函数的求导上

追问

这我知道，，求一次导好像并不能证明

追答

是求一次导啊，只不过是(u/v)'类型的
里面又是复合函数，又是积分，所以看起来复杂一点
其实你应该能够看明白我所写的
只要走这个思路，就应该是这些过程

追问

我知道了，，，前两天我一直纠结，该不该求两次导，因为可导的必要条件是连续，我刚刚看了下，求导过后依然是连续函数，所以求两阶导是可行的