Question

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且E

在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证EG=CG且EG⊥CG。 （1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。

Answer 1

解：（1）EG=CG，EG⊥CG； （2）EG=CG，EG⊥CG， 证明：延长FE交DC延长线于M，连MG， ∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°， ∴四边形BEMC是矩形， ∴BE=CM，∠EMC=90°， 又∵BE=EF， ∴EF=CM， ∵∠EMC=90°，FG=DG， ∴MG= FD=FG， ∵BC=EM，BC=CD， ∴EM=CD， ∵EF=CM， ∴FM=DM， ∴∠F=45°， 又FG=DG， ∠CMG= ∠EMC=45°， ∴∠F=∠GMC， ∴△GFE≌△GMC， ∴EG=CG，∠FGE=∠MGC， ∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG， ∴MG⊥FD， ∴∠FGE+∠EGM=90°， ∴∠MGC+∠EGM=90°， 即∠EGC=90°， ∴EG⊥CG。