Question

求下列双曲线的标准方程．（1）与椭圆 x 2 16 + y 2 25 =1 共焦点，且过点

求下列双曲线的标准方程．（1）与椭圆 x 2 16 + y 2 25 =1 共焦点，且过点 (1， 5 2 ) 的双曲线；（2）与双曲线 x 2 16 - y 2 4 =1 有相同渐近线，且过点 (2 2 ，1) 的双曲线．

Answer 1

（1）椭圆 x 2 16 + y 2 25 =1 焦点坐标为（0，3），在y轴上 ∴所求双曲线的焦点坐标为（0，3），c=3 故设双曲线方程为 y 2 a 2 - x 2 9- a 2 =1 ∵点 (1， 5 2 ) 在双曲线上 ∴ ( 5 2 ) 2 a 2 - 1 2 9- a 2 =1 解得a 2 =5， ∴所求双曲线方程为 y 2 5 - x 2 4 =1 （2）与双曲线 x 2 16 - y 2 4 =1 有相同渐近线的双曲线方程可设为 x 2 16 - y 2 4 =λ 而点 (2 2 ，1) 在双曲线上则 (2 2 ) 2 16 - 1 2 4 =λ 解得λ= 1 4 ∴所求双曲线方程为 x 2 4 - y 2 =1