Question

已知函数f（x）=log a （x+1），g（x）=log a （1-x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）+g（x）的定

已知函数f（x）=log a （x+1），g（x）=log a （1-x）（其中a＞0，且a≠1）（1）求函数f（x）+g（x）的定义域；（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并予以证明；（3）求使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合．

Answer 1

（1）由题意得： x+1＞0 1-x＞0 ，∴-1＜x＜1 ∴所求定义域为{x|-1＜x＜1，x∈R}； （2）函数f（x）-g（x）为奇函数 令H（x）=f（x）-g（x），则H（x）=log a （x+1）-log a （1-x）=log a x+1 1-x ， ∵H（-x）=log a -x+1 1+x =-log a x+1 1-x =-H（x）， ∴函数H（x）=f（x）-g（x）为奇函数； （3）∵f（x）+g（x）=log a （x+1）+log a （1-x）=log a （1-x 2 ）＜0=log a 1 ∴当a＞1时，0＜1-x 2 ＜1，∴0＜x＜1或-1＜x＜0； 当0＜a＜1时，1-x 2 ＞1，不等式无解 综上：当a＞1时，使f（x）+g（x）＜0成立的x的集合为{x|0＜x＜1或-1＜x＜0}．