Question

椭圆 C 的中心为坐标原点 O ，焦点在 y 轴上，离心率 e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－ , 直线

椭圆 C 的中心为坐标原点 O ，焦点在 y 轴上，离心率 e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－ , 直线 l 与 y 轴交于点 P （0， m ），与椭圆 C 交于相异两点 A、B ，且 ． （1）求椭圆方程；（2）若 ，求 m 的取值范围．

Answer 1

（1） （2）（－1，－ ）∪（ ，1）∪｛0｝

（1）设 C ：＋＝1（ a ＞ b ＞0），设 c ＞0， c 2 ＝ a 2 － b 2 ，由条件知a－c＝ ，＝ ， ∴ a ＝1， b ＝ c ＝ ， 故 C 的方程为： 　                  5′ （2）由＝ λ ， ∴ λ ＋1＝4， λ ＝3　或O点与P点重合="             " 7′ 当O点与P点重合=时，m=0 当 λ ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。 设 l 与椭圆 C 交点为 A （ x 1 ， y 1 ）， B （ x 2 ， y 2 ） 得（ k 2 ＋2） x 2 ＋2 kmx ＋（ m 2 －1）＝0 Δ＝（2 km ） 2 －4（ k 2 ＋2）（ m 2 －1）＝4（ k 2 －2 m 2 ＋2）＞0 （*） x 1 ＋ x 2 ＝， x 1 x 2 ＝　                          11′ ∵＝3 ∴－ x 1 ＝3 x 2 ∴ 消去 x 2 ，得3（ x 1 ＋ x 2 ） 2 ＋4 x 1 x 2 ＝0，∴3（） 2 ＋4＝0 整理得4 k 2 m 2 ＋2 m 2 － k 2 －2＝0　                         13′ m 2 ＝ 时，上式不成立； m 2 ≠ 时， k 2 ＝， 因 λ ＝3 ∴ k ≠0 ∴ k 2 ＝＞0，∴－1＜ m ＜－  或 ＜ m ＜1 容易验证 k 2 ＞2 m 2 －2成立，所以（*）成立 即所求 m 的取值范围为（－1，－ ）∪（ ，1）∪｛0｝                 16′