设f（x）=g(x)?e?xx，x≠00，x＝0其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=1，g′（0）=-1．（1）求f′（x）
设f（x）=g(x)?e?xx，x≠00，x＝0其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=1，g′（0）=-1．（1）求f′（x）；（2）讨论f′（x）在（-∞，+∞）上的...
设f（x）=g(x)?e?xx，x≠00，x＝0其中g（x）有二阶连续导数，且g（0）=1，g′（0）=-1．（1）求f′（x）；（2）讨论f′（x）在（-∞，+∞）上的连续性．
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（1）
当x≠0时，
f′(x)＝
| x[g′(x)+e?x]?g(x)+e?x |
| x2 |
| xg′(x)?g(x)+(x+1)e?x |
| x2 |
当x=0时，由导数定义，有：
f′(0)＝
| lim |
| x→0 |
| f(x)?f(0) |
| x?0 |
| lim |
| x→0 |
| g(x)?e?x |
| x2 |
| lim |
| x→0 |
| g′(x)+e?x |
| 2x |
| lim |
| x→0 |
| g″(x)?e?x |
| 2 |
| g″(0)?1 |
| 2 |
所以：
f′(x)＝
|
（2）
因为在x=0处，有：
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
| xg′(x)?g(x)+(x+1)e?x |
| x2 |
=
| lim |
| x→0 |
| g′(x)+xg″(x)?g′(x)+e?x?(x+1)e?x |
| 2x |
=
| lim |
| x→0 |
| g″(x)?e?x |
| 2 |
