Question

设函数f（x）=2x+a2x-1（a为实数）．（Ⅰ）当a=0时，求方程|f（x）|=12的根；（Ⅱ）当a=-1时，若对于任意

设函数f（x）=2x+a2x-1（a为实数）．（Ⅰ）当a=0时，求方程|f（x）|=12的根；（Ⅱ）当a=-1时，若对于任意t∈（1，4]，不等式f（t2-2t）-f（2t2-k）＞0恒成立，求k的范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2^x-1，
由题意得|2^x-1|=

1

2

，
所以2^x-1=

1

2

，或2^x-1=-

1

2

，
解得x=log2

3

2

或x=-1；
（Ⅱ）当a=-1时，f(x)＝2x?

1

2x

?1，
由于函数y=2^x递增、函数y＝

1

2x

递减，所以f(x)＝2x?

1

2x

?1在R上单调递增．
不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，
即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，故k＞t²+2t，
从而k＞（t²+2t）_max，
又当t∈（1，4]时，（t²+2t）_max=24，
所以k＞24．