Question

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a 2 +2b 2 +3c 2 +6d 2 =5，求a的取值范围

已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a 2 +2b 2 +3c 2 +6d 2 =5，求a的取值范围．

Answer 1

由柯西不等式得 ( 1 2 + 1 3 + 1 6 )   (2 b 2 +3 c 2 +6 d 2 )≥(b+c+d)   2 即2b 2 +3c 2 +6d 2 ≥（b+c+d） 2 将条件代入可得5-a 2 ≥（3-a） 2 ，解得1≤a≤2 当且仅当 2 b 1 2 = 3 c 1 3 = 6 d 1 6 时等号成立， 可知b= 1 2 ，c= 1 3 ，d= 1 6 时a最大=2， b=1，c= 2 3 ，d= 1 3 时，a最小=1， 所以：a的取值范围是[1，2]．