Question

已知，如图抛物线y＝ax 2 ＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为

已知，如图抛物线y＝ax 2 ＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)∴y＝ x 2 ＋ x－3 (2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝ ＋ ·DM·(AN＋ON)＝ ＋2DM. ∵A(－4,0)，C(0，－3)， 设直线AC的解析式为y＝kx＋b， 代入求得：y＝－ x－3， 令D ，M ， 则DM＝－ x－3－ ＝－  (x＋2) 2 ＋3. 当x＝－2时，DM有最大值3，此时四边形ABCD面积有最大值 . (3)如图①所示，讨论：①过点C作CP 1 ∥x轴交抛物线于点P 1 ，过点P 1 作P 1 E 1 ∥AC交x轴于点E 1 ，此时四边形ACP 1 E 1 为平行四边形， ∵C(0，－3)，令 x 2 ＋ x－3＝－3得x 1 ＝0，x 2 ＝－3， ∴CP 1 ＝3.∴P 1 (－3，－3)． ②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P， 当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形， ∵C(0，－3)， ∴可令P(x,3)，由 x 2 ＋ x－3＝3得：x 2 ＋3x－8＝0， 解得x 1 ＝ 或x 2 ＝ ， 此时存在点P 2 和P 3 . 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是P 1 (－3，－3)，P 2 ，P 3 .

（1）先求出抛物线的对称轴，再由OC＝3OB＝3，a>0，即可求得C点坐标，由B(1,0)、C(0，－3)根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。先表示出四边形ABCD的面积，再求出直线AC的函数解析式，即可表示出DM的长，根据二次函数的性质即可得到结果； 分情况讨论：①过点C作CP 1 ∥x轴交抛物线于点P 1 ，过点P 1 作P 1 E 1 ∥AC交x轴于点E 1 ，此时四边形ACP 1 E 1 为平行四边形，②如图②，平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形。