Question

已知一个数列{a n }的各项都是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，2，

已知一个数列{a n }的各项都是1或2．首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2，即1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…．记数列的前n项的和为S n ．参考：31×32=992，32×33=1056，44×45=1980，45×46=2070（I）试问第10个1为该数列的第几项？（II）求a 2012 和S 2012 ；（III）是否存在正整数m，使得S m =2012？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（I）将第k个1与第k+1个1前的2记为第k对， 即（1，2）为第1对，共1+1=2项；（1，2，2，2）为第2对，共1+3=4项；…； (1， 2，2，2，…2) 共2k-1个2 为第k对，共1+（2k-1）=2k项； 故前k对共有项数为2+4+…+2k=k（k+1）． 第10个1所在的项之前共有9对，所以10个1为该数列的 9×（9+1）+1=91（项）．…（6分） （II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32， 故第2012项在第45对中的第32个数，从而a 2012 =2 又前2012项中共有45个1，其余2012-45=1967个数均为2， 于是S 2012 =45×1+1967×2=3979…（10分） （III）∵前k对所在全部项的和为 S k×(k+1) =k+2[k(k+1)-k=2 k 2 +k] ， ∴ S 31×32 = S 992 =2×3 1 2 +31=1953 ， S 32×33 = S 1056 =2×3 2 2 +32=2080 ， 即S 993 =1954且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除， 故存在m=993+29=1022，使S 1022 =2012．…（14分）