Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），

已知f（x）的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，且对于任意实数x，y满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．（1）试判断函数f（x）的单调性，并证明；（2）试解不等式f（x）+f（x﹣2）＜3．

Answer 1

解：（1）由题意可得 f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1）， ∴f（1）=0． 令y= ，可得 f（1）=0=f（x）+f（ ）， ∴f（ ）=﹣f（x）． 设 x 2 ＞x 1 ＞0，则 ＞1， ∴f（ ）=f（x 2 ）+f（ ）=f（x 2 ）﹣f（x 1 ）＞0，即 f（x 2 ）＞f（x 1 ）， 函数f（x）在（0，+∞）上是增函数． （2）不等式f（x）+f（x﹣2）＜3 即 f[x（x﹣2）]＜3． 由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3， 故不等式即 f[x（x﹣2）]＜f（8）． 由 解得 2＜x＜4， 故不等式的解集为 （2，4）．