Question

设x，y满足约束条件 x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2 ，若目标函数z=4ax+3b

设x，y满足约束条件 x+y≥1 x-y≥-1 2x-y≤2 ，若目标函数z=4ax+3by，（a＞0，b＞0）的最大值为12，则 1 a + 1 b 的最小值为______．

Answer 1

不等式表示的平面区域如图所示阴影部分， 由直线4ax+3by=z（a＞0，b＞0）可得y= - 4a 3b x+ z 3b ，则 z 3b 表示直线在y轴截距，截距越大z越大 由a＞0，b＞0可得 - 4a 3b ＜0 ∴直线4ax+3by=Z过点B时，目标函数有最大值 由 2x-y=2 x-y=-1 可得B（3，4） 此时目标函数z=4ax+3by（a＞0，b＞0）取得最大12， 即12a+12b=12，即a+b=1而 1 a + 1 b =（ 1 a + 1 b ）（a+b）=2+ b a + a b ≥4 当且仅当 b a = a b 即a=b= 1 2 时取等号 ∴ 1 a + 1 b 的最小值4 故答案为：4