Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e=

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F．若C的右准线l的方程为x=4，离心率e= ．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点P为直线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．

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Answer 1

解：（1）由题意，设椭圆C的标准方程是 ， 则 ， 解得 ， ∴所求椭圆C的方程为 ． （2）由（1）知，F（2，0）， 由题意设P（4，t），t＞0，线段OF的垂直平分线方程为x=1，① 因为线段FP的中心为（3， ），斜率为 ． 所以线段FP的垂直平分线方程为 ，即 ，② 联立①②，解得 ， 即：圆心M（1， ）， ∵t＞0，∴ =2 ， 当且仅当 ，即t=2 时，圆心M到x轴的距离最小， 此时圆心为M（1，2 ），半径为OM=3， 故所求圆M的方程为 ．