Question

（2014?通州区一模）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，高线AD和BE交于点F．求证：CD=DF

（2014?通州区一模）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，高线AD和BE交于点F．求证：CD=DF．

Answer 1

证明：∵AD、BE是△ABC的高线，
∴AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠AEB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵∠EBC+∠BFD=90°，∠CAD+∠AFE=90°，∠AFE=∠BFD，
∴∠CAD=∠EBC，
在△BDF和△ADC中，

∠CAD＝∠EBC AD＝BD ∠ADC∠BDF＝90°

，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴CD=DF．