已知,如图,在△ABC中,AB=AC,点P是△ABC的中线AD上的任意一点(不与点A重合.将线段AP绕点A逆时针旋转
已知,如图,在△ABC中,AB=AC,点P是△ABC的中线AD上的任意一点(不与点A重合.将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ,使∠PAQ=∠BAC,连接BP,CQ(1)求证...
已知,如图,在△ABC中,AB=AC,点P是△ABC的中线AD上的任意一点(不与点A重合.将线段AP绕点A逆时针旋转到AQ,使∠PAQ=∠BAC,连接BP,CQ(1)求证:BP=CQ.(2)设直线BP与直线CQ相交于点E,∠BAC=α,∠BEC=β,①若点P在线段AD上移动(不与点A重合),则“α与β之间有怎样的数量关系?并说明理由.②若点P在直线AD上移动(不与点A重合).则α与β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论.
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(1)证明:∵∠PAQ=∠BAC,
∴∠PAQ-∠PAC=∠BAC-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中,
,
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴BP=CQ;
(2)解:①若点P在线段AD上移动(不与点A重合),此时α=β,理由如下:
由(1)知△ABP≌△ACQ,
∴∠ABP=∠ACQ,
在△ABO和△ECO中,∠AOB=∠EOC,∠ABP=∠ACQ,
∴∠BAC=∠BEC,即α=β;
②若点P在直线AD上移动(不与点A重合),α与β之间的数量关系是相等或互补,
相等理由同①;互补理由为:如图所示,
由(1)知△ABP≌△ACQ,
∴∠ABP=∠ACQ,
又∠ACQ=∠ECO,
∴∠ABP=∠ECO,又∠EOC=∠AOB,
∴△ECO∽△AOB,
∴∠CEO=∠OAB,
∵∠PEQ+∠CEO=180°,
∴∠PEQ+∠BAC=180°,即α+β=180°.
∴∠PAQ-∠PAC=∠BAC-∠PAC,即∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中,
|
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴BP=CQ;
(2)解:①若点P在线段AD上移动(不与点A重合),此时α=β,理由如下:
由(1)知△ABP≌△ACQ,
∴∠ABP=∠ACQ,
在△ABO和△ECO中,∠AOB=∠EOC,∠ABP=∠ACQ,
∴∠BAC=∠BEC,即α=β;
②若点P在直线AD上移动(不与点A重合),α与β之间的数量关系是相等或互补,
相等理由同①;互补理由为:如图所示,
由(1)知△ABP≌△ACQ,
∴∠ABP=∠ACQ,
又∠ACQ=∠ECO,
∴∠ABP=∠ECO,又∠EOC=∠AOB,
∴△ECO∽△AOB,
∴∠CEO=∠OAB,
∵∠PEQ+∠CEO=180°,
∴∠PEQ+∠BAC=180°,即α+β=180°.
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