Question

满足不等式|x-2|+|x-1|≤3的实数x的取值范围为______

满足不等式|x-2|+|x-1|≤3的实数x的取值范围为______．

Answer 1

答案为：[0，3]

令f（x）=|x-2|+|x-1|

则f（x）=32x，x＜1

1≤x≤2，x＞2  

当x＜1，由3-2x≤3

解得0≤x＜1

当1≤x≤2，有f（x）=1≤3成立

∴1≤x≤2

当x＞2，由2x-3≤3

解得2＜x≤3

综上所述，0≤x≤3

故答案为：[0，3]

有限区间

(1) 开区间 例如:{x|a<x<b}=(a,b)

(2) 闭区间 例如:{x|a≤x≤b}=[a,b]

(3) 半开半闭区间 例如:{x|a<x≤b}=(a,b]

{x|a≤x<b}=[a,b)

b-a成为区间长度。

有限区间在数学几何上的意义表现为：一条有限长度的线段。

注：这里假设a<b。

Answer 2

令f（x）=|x-2|+|x-1|，
则f（x）=

3?2x，x＜1 1，1≤x≤2 2x?3，x＞2

．
当x＜1，由3-2x≤3，
解得0≤x＜1；
当1≤x≤2，有f（x）=1≤3成立；
∴1≤x≤2；
当x＞2，由2x-3≤3，
解得2＜x≤3．
综上所述，0≤x≤3．
故答案为：[0，3]．

Answer 3

分类讨论，去绝对值的依据是正数绝对值是它本身，负数绝对值是它的相反数，因此分x≤1，1<x<2，x≥2三类情况进行讨论，
(1)当x≤1时，原式=2-x+1-x=3-2x≤3解得x≥0，所以0≤x≤1
(2)当1<x<2时，原式=2-x+x-1=1 1≤3恒成立
(3)当x≥2时，原式=x-2+x-1≤3，解得x≤3，所以2≤x≤3
综上所述，x的取值范围为0≤x≤3。
另附数形结合解法，|x-2|为x点到2的距离，|x-1|为x点到1的距离，也作类似分类讨论。