Question

（2014?芜湖模拟）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿对角线BD吧△ABD折起到△A1BD的位置，使A1在平面BCD

（2014?芜湖模拟）如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=6，沿对角线BD吧△ABD折起到△A1BD的位置，使A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求直线A1C与平面A1BD所成角的余弦值．

Answer 1

解答：证明：（1）∵A₁在平面BCD上的射影O在CD上，
∴A₁O⊥平面BCD，
又∵BC?平面BCD，∴BC⊥A₁O，
又∵BC⊥CO，A₁O∩CO=O，∴BC⊥平面A₁CD，
又∵A₁D?平面A₁CD，
∴BC⊥A₁D．
解：（2）由（1）得BC⊥A₁D，
又∵A₁D⊥A₁B，A₁B∩BC=B，A₁B，BC?平面A₁BC，
∴A₁D⊥平面A₁BC，
又∵A₁D?平面A₁DB，
∴平面A₁DB⊥平面A₁BC，
过C作CE⊥A₁B于E，
则CE⊥平面A₁BD，
∴∠CA₁E即为直线A₁C与平面A₁BD所成角，
∴sin∠CA₁E=

BC

A1B

=

3

5

，
∴cos∠CA₁E=

4

5

．