Question

由动点P引圆x2+y2=10的两条切线PA，PB，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．（1）若k1+k2+k1k2=-1，求动点P的

由动点P引圆x2+y2=10的两条切线PA，PB，直线PA、PB的斜率分别为k1、k2．（1）若k1+k2+k1k2=-1，求动点P的轨迹；（2）若点P在x+y=m上，且PA⊥PB，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设P（x₀、y₀），
则|x₀|≠

10

，且x₀²+y₀²≠10，切线l：y-y₀=k（x-x₀）．
由l与圆相切，得

|kx0?y0|

k2+1

＝

10

．
化简整理得（x₀²-10）k²-2x₀y₀k+y₀²-10=0．
由韦达定理及k₁+k₂+k₁k₂=-1，得

2x0y0

x 2 0 ?10

+

y 2 0 ?10

x 2 0 ?10

＝?1，化简得x₀+y₀=±2

5

．
即P点的轨迹方程为x+y±2

5

=0且|x₀|≠

10

．即两条直线上各去掉一个点
（2）因为，点P（x₀、y₀）在x+y=m上，所以y₀=m-x₀．又PA⊥PB，
所以，当PA，PB的斜率有一个不存在时，另一个必为0，则两切线方程必为圆的外切正方形的边所在的直线的交点上，即可能的四点坐标分别为（-

10

，

10

），（-

10

，-

10

），（

10

，-

10

），（

10

，

10

），此四点分别在直线y=-x，与y=x上，又点P在直线x+y=m上，故P点可能的坐标只能是（-

10

，

10

），（

10

，-

10

），将此两点坐标代入x+y=m，解得m=0，符合题意；
当PA，PB的斜率都存在时，此时m不为0，则
k₁k₂=-1，即

y 2 0 ?10

x 2 0 ?10

＝?1，将y₀=m-x₀代入化简得2x₀²-2mx₀+m²-20=0．
由△≥0，得?2